Похожие публикации

Игра это искра, зажигающая огонек пытливости и любознательности. И мы сегодня подтвердим слова великого педагога В. А. Сухомлинского
Документ
Цель: выявить и поддержать талантливых детей, формировать и развивать их интеллектуальные способности; популяризовать умения добывать дополнительные з...полностью>>

Мариус фон Майенбург
Документ
Шефлер. Отель «Эксельсиор» – лучшее, что там есть. Место просто фантастическое, забронируйте номер с окнами на юг, потрясающий вид на Альпы, с утра пр...полностью>>

Мариус фон Майенбург
Документ
Шефлер. Отель «Эксельсиор» – лучшее, что там есть. Место просто фантастическое, забронируйте номер с окнами на юг, потрясающий вид на Альпы, с утра пр...полностью>>

Мариус фон Майенбург
Документ
Шефлер. Чушь какая-то: число продаж… Что вы болтаете? Летте изобрел штекер, благодаря ему мы получили патент, никто лучше Летте в нем не разбирается, ...полностью>>



Математическая секция Построение признаков делимости чисел


Отдел образования администрации муниципального района

«Баймакский район»

Математическая секция

Построение признаков делимости чисел

Выполнил: Кулешов Богдан,

ученик 6б класса

МОУ СОШ №3 г. Баймака.

Научный руководитель:

учитель математики

МОУ СОШ №3 г. Баймака

Мурзабаева Ф.М.

2007

Оглавление.

1. Вводная часть. Делимость-главное свойство теории чисел.

2. Классификация признаков делимости.

3. Методы построения признаков делимости чисел.

1) Определение признака делимости на число по делимости чисел вида на это число.

2) Метод сравнений.

3) Метод Паскаля.

4) Метод построения признаков делимости по малой теореме Ферма.

5) Признаки делимости составных чисел.

4. Применения признаков делимости в числовых фокусах.

5. Выводы и заключение.

Теория чисел – раздел математики, в котором изучаются свойства чисел. Основной объект теории чисел – натуральные числа. Главное их свойство, которое рассматривает теория чисел, это делимость.

Признаки делимости чисел можно классифицировать следующим образом:

1. Признаки делимости по последним цифрам чисел.

Рассмотрим методы построения признаков делимости по последним цифрам натуральных чисел:

Если число , делится на какое–либо натуральное число, то и число , делится на это число.

Признак делимости на 2. Число делится на 2, если его последняя цифра - ноль или делится на 2.

10 делится на 2,значит и 100,1000,.. делятся на 2. Тогда число делится на 2, если его последняя цифра - ноль или делится на 2.

Признак делимости на 10Число делится на 10, если его последняя цифра - ноль.

10 делится на 10, значит и 100, 1000,… делятся на 10. Получается, число делится на 10, если его последняя цифра – ноль.

Аналогично доказываются следующие признаки делимости.

Признак делимости на 5. Число делится на 5, если оно оканчивается на цифры 0 и 5.

Признак делимости на 100. Число делится на 100, если две его последние цифры – нули.

Признак делимости на 1000. Число делится на 1000, если три его последние цифры – нули.

Признак делимости на 4. Число делится на 4, если две его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 4.

Доказательство:

100, 1000, 10 000,…- все эти числа делятся на 4 без остатка. Значит, число делится на 4, если две его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 4.

Признак делимости на 8. Число делится на 8, если три его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 8.

Доказательство:

1000, 10 000,…- все эти числа делятся на 8 без остатка. Значит, число делится на 8, если три его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 8.

Признак делимости на 25. Число делится на 25, если две его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 25.

Доказательство:

100, 1000, 10 000,…- все эти числа делятся на 25 без остатка. Значит, число делится на 25, если две его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 25.

Признак делимости на 125.

Доказательство:

1000, 10 000, 100 000,…-все эти числа делятся на 125 без остатка. Значит, число делится на 125, если три его последние цифры нули или образуют число, которое делится на 125.

2. Признаки делимости чисел по сумме цифр чисел.

Для построения таких признаков делимости нам необходим анализ остатков при делении чисел вида , на данное число.

Метод Паскаля. Оно обосновано на признаке Паскаля.

Блез Паскаль (родился в 1623 году) - один из самых знаменитых людей в истории человечества. Паскаль умер, когда ему было 39 лет, но, несмотря на столь короткую жизнь, вошел в историю как выдающийся математик, физик, философ и писатель. Его именем названы единица давления (паскаль) и весьма популярный сегодня язык программирования.

Но научные интересы Блеза Паскаля не ограничивались созданием калькулятора: он нашёл общий алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, способ вычисления биномиальных коэффициентов, сформулировал ряд основных положений элементарной теории вероятностей.

Признак Паскаля.

Если сумма остатков при делении числа по разрядам на число делится на , то и число делится на .

Признаки делимости на 3 и 9. 

Число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3. Число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9.

Доказательство:

1, 10, 100, 1000, ... при делении на 3, на 9 дают в остатке единицу.

Значит, число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3. Число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9.

Признак делимости на 11. На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.

Доказательство:

10=11-1, недостаток 1;

100=11·9+1, избыток 1;

1000=11·91-1;

10 000=11·909+1,

100 000=11·9091-1,

1000 000= 11·90909+1.

Надо найти сумму всех остатков по разрядам числа.

Значит, на 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.

Пример. Делится ли число 865 948 732 на 11?

8+5+4+7+2=26;

6+9+8+3=26; 26-26=0

Можно получить еще один признак делимости на 11.

Признак делимости на 11. Если сумма, составленная при разбивании числа справа налево на группы по две цифры, делится на 11, то и число делится на 11.

Доказательство:

100=11·9+1, избыток в 1;

10 000=11·909+1,

1000 000= 11·90909+1.

Число делится на 11, если сумма, составленная при разбивании числа справа налево на группы по две цифры, делится на 11.

Пример. 2 37 84 95 68.

2+37+84+95+68=286.

2+86=8811

Развитие этой идеи построения делимости привело к понятию «сравнения» в математике.

Метод сравнений.

Два целых числа, разность которых кратна данному натуральному числу m, называются сравнимыми по модулю m.

Утверждение «» обычно записывают и называют сравнениями.

Например: есть разность (5-1) кратна 2.

Построим признаки делимости по методу сравнений.

Построение признаков делимости по методу сравнений обосновано на делении с остатком чисел вида на заданное число и анализе сумм остатков.

Признак делимости на 3, на 9.

Любое число можно представить Так как , Поэтому . Значит, делится на 3 в том, и только в том, случае, если сумма его цифр делится на 3.

Аналогично доказывается признак делимости на 9.

Признак делимости на 37.

Если разбить десятичную запись числа справа налево на группы по 3 цифры, сложить эти числа и сумма их делится на 37, то и число делится на 37.

Такой способ построения признаков делимости оказался очень громоздким, требует больших математических расчетов.

Метод построения признаков делимости по малой теореме Ферма.

Больше всего французского математика Пьера Ферма прославили его работы по теории чисел. И именно с работ Ферма началась новая математическая наука – теория чисел. «Меня озарило ярким светом» - писал Ферма, впервые сообщив о своем открытии в письме (1640). В самом деле, эта его теорема стала одним из самых фундаментальных фактов в теории делимости натуральных чисел.

Малая теорема Ферма.

Если p-простое число, - натуральное число, не делящееся на p. То при делении на p дает остаток 1.

Признак делимости на 17. Так как 17-число простое, 10 – натуральное, не делящееся на 17, то число при делении на 17 дает остаток 1.

Проверим и число . Оно при делении на 17 дает недостачу в 1. Значит, число делится на 17, если разбить его десятичную запись справа налево на группы по 8 цифры в каждой и взять группы с нечетными номерами со знаком минус, с нечетными номерами со знаком плюс, и значение выражения будет делиться на 17, то и число делится на 17.

Признак делимости на 19. 19- простое, 10-натуральное число, не делящееся на 19. то число при делении на 19 дает остаток 1, а число дает недостачу в 1. В этом случае число надо разбить в группы справа налево по 9 цифр.

Заметим, в некоторых случаях необходимо проверить и меньшие степени.

Например, 11 – простое число. Тогда дает при делении на 11 остаток 1. Но и 100 делится на 11 с остатком равным 1. Здесь уже лучше разбит число в группы по две цифры, что упрощает проверку делимости на 11.

Каково бы не было простое число p, отличное от 2 и 5, всегда можно указать число. Составленное из одних девяток – 999…00, - что оно будет делиться на p. Так на 3 делится 9, на 7 – 999 999, на 11 – 99, на 13 – 999 999. Чтобы получить число, делящееся на 17, придется взять 16 девяток и т.д. Это все использование малой теоремы Ферма.

Метод разложения на множители.

Признаки делимости на 7 и на 13.

Если разбить десятичную запись числа справа налево на группы по 3 цифры и взять группы с нечетными номерами со знаком минус, а с четными со знаком плюс и значение выражения делится на 7 или на 13, то и число делится на 7 или на 13.

Доказательство:

Заметим, что 7·11·13=1001.

Но 1000=1001-1,

1000 000= 1001·999+1,

1 000 000 000 =1001·999 001-1 и т.д. Значит, если разбить десятичную запись числа справа налево на группы по 3 цифры и взять группы с нечетными номерами со знаком минус, а с четными со знаком плюс и значение выражения делится на 7 или на 13, то и число делится на 7 или на 13.

Признаки делимости на 73 и на 137.

Если разбить десятичную запись числа справа налево на группы по 4 цифры и взять группы с нечетными номерами со знаком минус, а с четными со знаком плюс и значение выражения делится на 73 или на 137, то и число делится на 73 или на 137

Доказательство: Заметим, что 73·137=10 001.

Но 10 000=10 001-1,

100 000 000=10 001·999+1.

1000 000 000 000= 10 001·999 001-1. и т. д.

Значит, если разбить десятичную запись числа справа налево на группы по 4 цифры и взять группы с нечетными номерами со знаком минус, а с четными со знаком плюс и значение выражения делится на 73 или на 137, то и число делится на 73 или на 137.

Признаки делимости составных чисел.

Признаки делимости составных чисел строятся на признаках делимости простых чисел, на которые можно разложить любое составное число.

 Признак делимости на 6. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на  Признак делимости на 14.Число делится на 14, если оно делится и на 2, и на 7.

В некоторых случаях для составных чисел можно получить признак делимости с использованием вышеперечисленных методов. Например:

Признак делимости на 33. Метод сравнений.

Если сумма, составленная при разбивании числа справа налево на группы по две цифры, делится на 33, то и число делится на 33.

Признаки делимости применяются в различных числовых фокусах:

1) Признак делимости на 7, 11, 13 используется при следующем числовом фокусе. Предложить друзьям загадать трехзначное число и приписать к нему его же еще раз. Попросить их разделить полученное шестизначное число на 7. Это число нацело разделится на 7. Затем предложит полученное число разделить на 11, а результат – на 13. К удивлению друзей, они получат в результате загаданное им число.

2) Можно так же использовать признак делимости на 73 и 137. Предложить друзьям загадать пятизначное число и приписать к нему его же еще раз. Попросить их разделить полученное десятизначное число на 137. Затем предложить полученное число разделить на 73. К удивлению друзей, получится в результате загаданное им число.

Выводы: Зная методы исследований признаков делимости натуральных чисел можно сформулировать признаки делимости любых натуральных чисел.

Признаки делимости часто используются при решении олимпиадных задач, при нахождении общего знаменателя дробей, в алгебре – при решении уравнений в целых числах (диофантовы уравнения).

Чем особенна и ценна теория чисел? Ведь найти непосредственное применение результатам трудно. Тем не менее, задачи теории чисел привлекают как пытливых молодых людей, так и ученых в течение многих столетий. В чем же здесь дело? Прежде всего, эти задачи очень интересны и красивы. Во все времена человека поражало, что на простые вопросы о числах так трудно найти ответ. Поиски этих ответов часто приводили к открытиям, значение которых далеко превосходит рамки теории чисел.

Используемая литература.

1. Энциклопедический словарь юного математика.

Савин А.П. Москва «Педагогика» 1989.

2. За страницами учебника математики. 10-11 классы.

Н.Я. Виленкин. Москва «Просвещение» 1996.

3. Алгебра для 8 класса. Под редакцией Н.Я. Виленкина. Москва «Просвещение» 1995.

4. Интернет ресурсы.