Похожие публикации

Работы психолога Калукской сош на 2014-2015 учебный год. №
Документ
1 .14г. Психолог, кл. рук. 8 Проведение методики опроса педагогов о школьной неуспеваемости ( -четверть) 14.01....полностью>>

Отчет о реализации программы «Здоровье»
Отчет
Поздравляем ученика 11а класса Павла Белова, занявшего II место в международном турнире по мотокроссу на Кубок главы МО «Багратионовский муниципальный...полностью>>

Тур №3 "Новогоднее очарование Петербурга" Встреча нового 2015 года в Санкт-Петербурге 4 дня / 3 ночи (31 12 14 - 03 01 15)
Программа
11:00 Встреча туристов на Московском вокзале у памятника Петру I с табличкой «название тура» (по предварительной заявке). Групповой трансфер в гостини...полностью>>

Методические указания для выполнения курсовой работы по дисциплине «Организация производства и менеджмент на транспорте» для студентов машиностроительного факультета
Методические указания
7 РАСЧЕТ ПОТРЕБНОСТЕЙ В РЕСУРСАХ 9 .1 Расчет потребности в капитальных вложениях . 9 . Расчет потребности в трудовых ресурсах 10 3 ПЛАНИРОВАНИЕ СЕ...полностью>>



Тема урока: Теорема Безу. Корни многочленов

-+

Тема урока: Теорема Безу. Корни многочленов.

Цель урока: Познакомить учащихся с методом решения уравнений, основанном на применении теоремы Безу. Научить использовать его при решении уравнений.

Задачи: вырабатывается умение: логически мыслить, анализировать, решать уравнения высших степеней.

Ход урока

1. Проверить усвоение изученного.

Повторить алгоритм деления многочлена на многочлен.

а) Выполнить деление:

3-4х2-11х+30): (х-2)

б) Найти значение многочлена

х3-4х2-11х+30 при х=2

в) Выполнить деление

3-4х2-11х+30): (х-3)

г) Найти значение многочлена

х3-4х2-11х+30 при х=3

2. Изучение нового материала

Любой многочлен R(x) можно представить в виде:

P(x)= (х-а) Q(х) + r, где r=P(a)

Пример 1. Найти остаток от деления х4-6х3+8 на х+2

Теорема Безу. Если уравнение а0хn + a1xn-1+ … + an-1x+an = 0,

где все коэффициенты целые, имеет целые корни, то это делители свободного члена.

Пример 2. Решите уравнение

х3-8х2+19х-12=0

Свободный член – 12 имеет делители 1, 2,  3, 4, 6, 12.

При x=1 значение многочлена равно 0. Это означает, что 1 является корнем уравнения, а х3-8х2+19х-12 делится на x-1.

Выполнив деление, получим уравнение х2-7х+12=0 , решая которое, получим что x=3 или x=4.

Ответ: 1; 3; 4.

Сформулировать обобщенную теорему Безу

3. Решение задач.

1) Решить уравнения:

а) х3-3х2-4х+12=0,

б) х3+4х2+5х+2=0,

в) х4+4х32-12х-12=0,

г) х4+4х32-16х-12=0.

2) Доказать, что уравнение не имеет целых корней:

а) х2-х-1=0,

б) х4-5х2+6=0,

в) х432+х+1=0.

3) Уравнение х3+17х2+bх-17=0 имеет три различных целях корня. Найти b

4. Итоги урока.

Какие уравнения можно решить с помощью теоремы Безу? Можно ли решить уравнение этим методом, если коэффициенты дробные? Какие еще методы применяются при решении таких уравнений?

Домашнее задание. Выучить теорему Безу.

1) Решить уравнение:

а) х3+3х2-5х-10=0,

б) х4-5х3+11х2-25х+30=0,

в) х4+3х2-3х3+12х-28=0.

2) Решить уравнение двумя способами:

а) х3-5х2-4х+20=0,

б) х3-3х2-3х+1=0,

в) 6х4-35х3+62х2-35х+6=0.

Индивидуальное задание: изучить схему Горнера и на следующем уроке сделать сообщение.

Тема урока: Дробно-рациональные уравнения.

Цель урока: Познакомить учащихся с различными методами решения дробно-рациональных уравнений. Научить правильно выбирать метод решения уравнений.

Задачи: выработать умение: логически мыслить, анализировать, пользоваться методом интервалов.

Ход урока

1. Проверка домашнего задания.

Проверить решение двух уравнений:

а) ,

уравнение решается по общей схеме.

Вопрос: как лучше выполнить умножение (х-2)2(х+2)2.

Выбрать более простой способ.

б) .

Вопрос: можно ли это уравнение с помощью замены привести к уравнению вида а)?

2. Изучение нового материала.

Рассмотреть на примерах различные методы решения дробно-рациональных уравнений.

1) Общая схема решения уравнения: . Уравнение равносильно системе:

Пример 1. Решить уравнение:

2) Метод замены переменных.

имерППППппрррПример 2. Решить уравнение:

Замена приводит к квадратному уравнению , которое имеет корни: t1=0,5; t2=2. Решая далее уравнения:

и ,

получим корни заданного уравнения: ; ; 1; 4.

3) Применение основного свойства дроби

Пример 3. Решить уравнение

Замечаем, что повторяется выражение x2+15, но замена: t= x2+15 не приводит к более простому уравнению.

Проверим, что 0 не является решением уравнения и разделим числитель и знаменатель каждой дроби на x. Получим уравнение:

Далее делаем замену: и получаем уравнение:

Откуда t=7 или t=14. Решая уравнения:

и , получим корни уравнения: и .

Заметим, что если 0 является решением, то его следует записать в ответ.

3. Решение задач.

Решить уравнения:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

4. Итоги урока. Какие методы можно применять при решении дробно-рациональных уравнений?

5. Домашнее задание

Решить уравнения:

а)

б)

в)

г)

Творческое задание: решить уравнение:

Самостоятельные работы

Самостоятельная работа 1

Вариант 1

1. Преобразовать в многочлен:

а) (2а2 – 3в)3,

б) (а + 2)6.

2. Разложить на множители:

а) 27х3 + 108х2 +144х + 64,

б) 64х6 – у6.

3. Разделить многочлен на многочлен:

а) (х3 + 8х2 + 11х – 20) : (х + 5),

в) (х3 + 2х2 – 7х – 14) : (х + 2),

с) (2х4 + 4х3 – 11х2 – 10х +15) : (2х2 – 5).

Вариант 2

1. Преобразовать в многочлен:

а) (3а4 + 2в)3,

б) (х – 4)5.

2. Разложить на множители:

а) 8х3 – 60х2 +150х – 125,

б) 243х5 – у5.

3. Разделить многочлен на многочлен:

а) (х3 - 7х2 + 14х – 8) : (х – 2),

в) (х3 + 4х2 – 5х – 20) : (х + 4),

с) (2х4 + 6х3 – 9х2 – 21х +7) : (2х2 – 7).

Самостоятельная работа 2

Вариант 1

1. Сократить дробь: .

2. Выделить целую часть: а) ; в) .

3. Решить уравнения с помощью теоремы Безу:

а) х3 – 6х2 + 11х – 6 = 0,

в) х3 – 5х2 – 2х + 24 = 0,

с) х4 + 3х3 – 13х2 – 17х + 26 = 0.

Вариант 2

х3 + 9х2 + 27х + 27

1. Сократить дробь: х3 + 27 .

х4 + 5х – 2 х5 + 4

2. Выделить целую часть: а) х – 3 ; в) х3 – 2х + 1 .

3. Решить уравнения с помощью теоремы Безу:

а) х3 – 7х2 + 14х – 8 = 0,

в) х3 – х2 – 14 х + 24 = 0,

с) х4 + 4х3 – 9х2 – 16х + 20 = 0.

Самостоятельная работа 3

Вариант 1

1. Решить уравнения:

а) ,

б) ,

в) .

г) (х +2) (х + 4) (х + 6) (х + 8) = –15,

д) .

Вариант 2

1. Решить уравнения:

а) ,

б) .

в) (х2 +3х – 4) (х2 +3х –7 ) = 18,

г) (х – 2) (х – 4) (х – 6) (х – 8) = –15,

д) .

Самостоятельная работа № 4

Вариант 1

  1. Решить возвратные уравнения:

    1. 3 – 5х2 – 5х + 4 = 0,

    2. 4 + 5х3 + 5х + 3 = 0.

  2. Решить однородные уравнения:

    1. 3(х2 – 5)2 + 4(х2 – 5) (х + 7) – 7 (х + 7)2 = 0,

    2. (х – 2)4 + 5(х + 2)4 = 6(х2 – 4)2.

Вариант 2

  1. Решить возвратные уравнения:

    1. 3 – 4х2 – 4х + 5 = 0,

    2. 4 – 5х3 + 4х2 – 5х + 2 = 0.

  2. Решить однородные уравнения:

  1. 3(х2 + 5)2 + 4(х2 + 5) (х – 7) – 7 (х – 7)2 = 0,

  2. (х-3)4 + 4(х + 3)4 = 5(х2 – 9)2.

Самостоятельная работа № 5

Вариант 1

  1. Решить дробно-рациональные уравнения:

    а) ,

    б) .

  2. Решить уравнения:

    1. |х - 5| + |х + 2| = 7,

    2. |2х – 3| + |2х – 5| = 2,

    3. 5|х|2 – 3|х| = 2.

Вариант 2

      1. Решить дробно-рациональные уравнения:

а) ,

б) .

      1. Решить уравнения:

        1. |х + 4| + |х - 7| = 11,

        2. |2х + 3| + |2х – 5| = 8,

        3. 7|х|2 – 4|х| = 3.

Самостоятельная работа № 6

Вариант 1

  1. Решить уравнения:

    1. ,

    2. sin 2x – 3cos 4x = 4,

    3. sin x = х2 + 4х + 5.

  2. Найти значения а, при которых уравнение

3sin x – 7 cos x = a

имеет корни.

Вариант 2

  1. Решить уравнения:

    1. .

    2. sin 2x – 4 cos 4x = 5,

    3. cos x = х2 + 6х + 10.

  1. Найти значения а, при которых уравнение

4 sin x – 5 cos x = a

имеет корни.

Самостоятельная работа № 7

Вариант 1

  1. Решить систему уравнений:

а) х2 + ху + у2 = 37,

х + у = 7;

б) 5х2 – 7ху + 2 у2 = 0,

2 + у2 = 4;


в) х2 + у2 + 3ху = 31,

ху = 6.

Вариант 2

  1. Решить систему уравнений:

а) х2 - ху + у2 = 21,

х + у = 9;


б) 4х2 – 9ху + 5у2 = 0,

2 + 2у2 = 7;

в) х2 + у2 + 5ху = 60,

ху = 8. .

Самостоятельная работа 8

Вариант 1

Решить систему уравнений:

а) ,

;

x + y + 3z = 1,

б) 2x – y + 2z = 5,

–x + 2y – 5z = –4;

в) ах +2у = 6,

3ах - у = 2.

Вариант 2

Решить систему уравнений:

а) ,

;

x + 2y – 4z = –1,

б) 2x – y + 3z = 9,

–x + 4y – 2z = –5;

в) х – 3ау = 4,

3х + ау = 7.

Самостоятельная работа 9

Вариант 1

1. Решить неравенства:

а) ,

б)  5.

2. Изобразить на плоскости множество решений неравенства:

а) 2х – 5у + 10  0,

б) ху  –6.

Вариант 2

1. Решить неравенства:

а) ,

б)  4.

2. Изобразить на плоскости множество решений неравенства:

а) 3х + 2у – 8  0,

б) ху  –8.

Зачет № 1

по теме «Алгебраические уравнения»

Вариант 1.

  1. Теорема Безу.

Решить уравнение: х3 – 8х2 + 19х – 12 = 0.

  1. Какое уравнение называется следствием из другого уравнения?

Какое из данных уравнений является следствием другого уравнения:

2(х + 3) + х (х – 4) = (х – 4) (х + 3 )

или + = 1 ?

  1. Какое уравнение называется однородным? Привести пример уравнения с двумя переменными. Решить уравнение:

2(х2 – 1)2 – 5(х2 – 1) (х2 + 4х) + 2 (х2 + 4х)2 = 0.

  1. Решить уравнения:

  1. 3 – 6х2 – 6х + 5 = 0,

  2. 4 + 3х3 – 16х2 + 3х + 2 = 0.

Вариант 1.

  1. Обобщенная теорема Безу.

Решить уравнение: 2х3 + 5х2 – х – 1 = 0.

  1. Какие уравнения называются равносильными? Привести пример.

Равносильны ли уравнения:

(х – 3) (х + 5) = 0 и ?

  1. Какие уравнения называются возвратными? Решить уравнения:

    1. 12х4 – 20х3 – х2 – 20х + 12 = 0,

    2. х3 – 5х2 – 5х + 1 = 0.

  2. Решить уравнение: 2(х2 – 4)2 + 5(х2 – 4) (х2 – 2х) – 3(х2 – 2х)2.

Зачет № 2

по теме «Алгебраические уравнения»

Вариант 1.

  1. Дробно-рациональные уравнения. Методы решения. Решить уравнения:

а) ;

б) .

  1. Что значит решить уравнения с параметрами? Решить уравнения:

    1. х2 – 2ах + а2 – 1 = 0;

    2. 2 – 9) · х + а + 3 = 0.

  2. Решить уравнения, содержащие знаки модуля:

    1. |х – 7| – |4 – 2х| = 2;

    2. х2 – 5|х| – 6 = 0.

Вариант 2.

  1. Методы решения уравнений, содержащих знаки модуля. Решить уравнения:

    1. 2 – 5х| = 5х - х2,

    2. |х + 5| - |6 – 3х| = 3.

  1. Метод оценки. Решить уравнения:

а) |х2 – 5х - 6| + = 0,

б) 3 sin 4х – 4 cоs 2х = 7.

  1. Решить уравнения:

    1. х2 – 6ах + 9а2 – 2а + 2 = 0.

б) .

Зачет № 3

по теме «Системы алгебраических уравнений и неравенств»

Вариант 1.

  1. Методы решения систем уравнений с двумя переменными.

Решить системы уравнений:

а) х2 + у2 – ху = 13,

ху = 12 ;

б) (3х – 4)2 + (5у – 2)2 = 328,

(3х – 4) (5у – 2) = 36;

в) х2 – 4ху + 3у2 = 0,

х2 – 5у2 = – 8.

  1. Метод интервалов. Решить неравенство:

    (х – 3)2 (х + 7)

    ≥ 0.

    2 – х

  2. Изобразить множество решений неравенства:

а) у ≥ 2х2,

б) (х – 3)2 + (у + 2)2 ≤ 9.

Вариант 2.

Методы решения систем уравнений с двумя переменными.

Решить системы уравнений:

а) х2 + у2 + 3ху = 31.

ху = 6 ;

б) (5х – 4)2 + (3у + 2)2 = 65,

(5х – 4) (3у + 2) = 36;

в) х2 + 5ху – 6у2 = 0,

2 + 5у2 = 63.

Метод интервалов. Решить неравенство:

(х – 5) (х + 2) 2

≥ 0.

4 – х

Изобразить множество решений неравенства:

а) у ≤ – х2,

б) (х + 2)2 + (у – 3)2 ≥ 16.