Похожие публикации

Программа дополнительной образовательной услуги формирование основ экономических знаний для детей 5 7 лет «экономическая азбука»
Программа
В наши дни экономические знания нужны всем: и взрослым, и детям. С проблемами экономики дошкольников сталкивает вся современная жизнь. Приобщение ребё...полностью>>

Сценарий конкурсной программы для начальной школы "Здоровым быть здорово!"
Сценарий
Здоровый образ жизни  — образ жизни отдельного человека с целью профилактики болезней и укрепления здоровья. Актуальность здорового образа жизни вызва...полностью>>

Сценарий конкурсной программы для начальной школы "Здоровым быть здорово!"
Сценарий
Здоровый образ жизни  — образ жизни отдельного человека с целью профилактики болезней и укрепления здоровья. Актуальность здорового образа жизни вызва...полностью>>

Сценарий конкурсной программы для начальной школы "Здоровым быть здорово!"
Сценарий
Счастливую полноценную жизнь можно представить в виде дерева жизни листья этого дерева-дни жизни человека. Каждый листочек этого дерева будет зелен и ...полностью>>



Учебное пособие. Пенза-2012 удк 514

BAD = 60,

.

Найти: АВ:AD.

Решение.

Пусть АВ = а, AD = b, BD = d1, AC = d2.

Тогда , но по условию , поэтому

, то есть .

По теореме косинусов из треугольника ABD имеем:

,

, .

Следовательно, ,

, ,

.

Получим систему

Решение этой системы a = b =, то есть a:b = 1.

Итак, мы получили, что AB:AD = 1.

Ответ: 1.

Задача 5. Высота ромба делит его сторону на отрезки m и n. Найти диагонали ромба.

Дано: ABCD – ромб,

AHBC, BH = m, HC = n.

Найти: AC, BD.

Решение.

По условию ABCD – ромб, поэтому

AB = BC = CD = AD = m + n.

Из прямоугольного треугольника AHC находим:

,

а из прямоугольного треугольника AHB: .

Приравнивая правые части этих равенств, получим

,

,

, .

Из ВОС – прямоугольного, находим:

,

.

Следовательно .

Ответ: ; .

Задачи для самостоятельного решения.

  1. В ромбе ABCD точки M и N – середины сторон BC и CD соответственно. Найдите угол MAN, если угол BAD равен 60.

(Ответ: )

  1. В квадрате ABCD точка М – середина ВС, а О – точка пересечения DM и АС. Найдите величину угла МОС.

(Ответ: )

  1. Параллелограмм с периметром 44 см разделен диагоналями на четыре треугольника. Разность между периметрами двух смежных треугольников равна 6 см. Определите длины сторон параллелограмма.

(Ответ: 14 см, 8 см)

  1. Длины диагоналей ромба и длина его стороны образуют геометрическую прогрессию. Найти синус угла между стороной ромба и его большей диагональю, если известно, что он больше 0,5.

(Ответ: )

  1. В параллелограмме ABCD точки Е и F лежат соответственно на сторонах АВ и ВС, М – точка пересечения прямых AF и DE, причем АЕ = 2ВЕ, а BF = 3CF. Найти численное значение отношения АМ:МF.

(Ответ: 4:5)

  1. Стороны параллелограмма равны 8 см и 3 см; биссектрисы двух углов параллелограмма, прилежащих к большей стороне, делят противолежащую сторону на три части. Найти каждую из них.

(Ответ: 3, 2, 3 см)

  1. В параллелограмме ABCD через точку пересечения диагоналей проведена прямая, которая отсекает на сторонах ВС и AD отрезки ВЕ = 2 м и AF = 2.8 м. Определить стороны ВС и AD.

(Ответ: 4.8 м)

  1. В параллелограмме ABCD высота, которая проведена из вершины В, делит основание AD пополам. Определить диагональ ВD и стороны параллелограмма, если известно, что периметр параллелограмма содержит 3.8 м и превышает периметр треугольника ABD на 1 м.

(Ответ: AD = BC = 1 м, АВ = ВD = CD = 0.9 м)

  1. Перпендикуляр, опущенный из вершины прямоугольника на его диагональ, делит ее в отношении 1:3. Определить длину диагонали, если известно, что точка ее пересечения с другой диагональю удалена от большей стороны на 2 м.

(Ответ: 8 м)

  1. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие – на катетах. Определить стороны прямоугольника, если известно, что они относятся как 5:2, а гипотенуза треугольника равна 45 см.

(Ответ: 25 и 10 см; или 18.75 и 7.5 см)

  1. В прямоугольном треугольнике прямой угол разделен пополам; из точки пересечения биссектрисы и гипотенузы проведены прямые, параллельные катетам. Доказать, что четырехугольник, образованный этими прямыми и катетами, есть квадрат.

  2. В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Определить стороны этого прямоугольника, зная, что одна из них вдвое больше другой и что диагональ квадрата равна 12 м.

(Ответ:4 м и 8 м)

  1. Две высоты параллелограмма, проведенные из вершины тупого угла, раны соответственно p и q, угол между ними равен . Найти большую диагональ параллелограмма.

(Ответ: )

  1. Диагональ прямоугольника делит его угол в отношении m:n. Найти отношение периметра прямоугольного прямоугольника к его диагонали.

(Ответ: )

  1. В прямоугольнике ABCD основание AD разделено точками М и Р на три равные части. Доказать, что сумма углов АМВ, АРВ, и ADB равна 90, если известно, что AD = 3AB.

  2. Стороны параллелограмма относятся как p:q, а диагонали как m:n. Найти углы параллелограмма.

(Ответ: )

  1. Отношение периметра параллелограмма к его большей диагонали равно k. Найти углы параллелограмма, если известно, что большая диагональ делит угол параллелограмма в отношении 1:2.

(Ответ: )

  1. Дан квадрат ABCD. Через центр этого квадрата проведены взаимно перпендикулярные прямые, отличные от прямых АС и BD. Доказать, что фигуры, отрезанные этими прямыми от квадрата, равны.

§6. Трапеция.

Четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны, называется трапецией (рис. 1).



Параллельные стороны AD и ВС называются основаниями трапеции. Две другие стороны: АВ и CD называются боковыми сторонами трапеции.


Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой или равнобедренной (рис. 2).

Трапеция, у которой один из углов прямой, называется прямоугольной (рис. 3).

У трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180 (как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых, содержащих основания трапеции, и секущей, содержащей боковую сторону).

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции.

Средняя линия трапеции обладает следующими свойствами:

  1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме;

  2. Средняя линия делит высоту трапеции на два равных отрезка.

Напомним свойства трапеции, которые часто используются для решения задач:

  1. Диагонали трапеции разбивают ее на четыре треугольника с общей вершиной.

  2. В любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения прямых, на которых лежат боковые стороны, лежат на одной прямой (рис. 4).

  3. В равнобокой трапеции углы при основании равны (рис. 5).

  4. В равнобокой трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии этой трапеции (рис. 6).

  5. В равнобокой трапеции диагонали равны (рис. 7).

  6. В равнобокой трапеции высота опущенная на большее основание из конца меньшего основания, делит его на два отрезка, один из которых равен полуразности оснований, а другой – их полусумме. (рис. 8)

  7. Во всякой трапеции середины боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной прямой (рис. 9).

  8. Во всякой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей, параллелен основанием и равен полуразности оснований (рис. 10).

  9. Во всякой трапеции сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон и удвоенного произведения оснований.

Приведенные рисунки напоминают доказательства этих свойств.


Задача 1. В трапеции с основаниями a и b через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. Найти длину отрезка этой прямой, заключенной между боковыми сторонами трапеции.

Дано: ABCD – трапеция,

AD = b, BC = a,

AC∩BD = O,

OKL, KL || AD.

Найти: KL.

Решение.

По условию задачи KL || AD, и, следовательно, ABDКВО, а АВСАКО. Так как в подобных треугольниках высоты пропорциональны сторонам, на которые они опущены, то

, .

.

.

Аналогично, из подобия треугольников:

DOL~DBC, OCL~ACD, находим .

Следовательно, .

Ответ: .

Задача 2. непараллельные стороны трапеции продолжены до взаимного пересечения и через полученную точку проведена прямая, параллельная основаниям трапеции. Найдите длину отрезка этой прямой, ограниченного продолжениями диагоналей, если длины оснований трапеции равны a и b.

Дано: ABCD – трапеция,

AD = a, BC = b,

AB∩CD = K, KMN,

MN || BC,

BD∩KN = M,

AC∩KM = N.

Найти: MN.

Решение.

Рассмотрим BCL и DAL. У них CBL = LDA, как углы при параллельных прямых AD и ВС и секущей АС, следовательно BCL  DAL.

Из подобия имеем .

Аналогично, из подобия треугольников КВС и KAD (по двум углам), имеем

.

KNC ~ DAC

(KCN = ACD – как вертикальные, KNC = CAD – как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых KN, AD и секущей AN).

Из подобия треугольников .

Перемножая пропорции и , получим .

Но из подобия треугольников LNM и LCB: , откуда .

Если бы было , то при вычислениях их роли поменялись, и мы получили бы . Значит,

Ответ: .

Задача 3. Диагонали трапеции равны и взаимно перпендикулярны, высота равна 15 см. Найти длину средней линии трапеции.

Дано: ABCD – трапеция,

AC = BD, BDAC,

KH = 15 см,

MN – средняя линия.

Найти: MN.

Решение.

По условию задачи АС = BD, следовательно АВСD – равнобедренная трапеция. По свойству равнобедренной трапеции