Похожие публикации

Программа строительства Программа строительства олимпийских объектов и развития города Сочи как горноклиматического курорта, утвержденная постановлением Правительства Российской Федерации от 29. 12. 2007 №991. Орган власти
Программа
Государственная корпорация по строительству олимпийских объектов и развитию города Сочи как горноклиматического курорта (ГК «Олимпстрой»), именуемая в...полностью>>

Программа строительства Программа строительства олимпийских объектов и развития города Сочи как горноклиматического курорта, утвержденная постановлением Правительства Российской Федерации от 29. 12. 2007 №991. Орган власти
Программа
Государственная корпорация по строительству олимпийских объектов и развитию города Сочи как горноклиматического курорта (ГК «Олимпстрой»), именуемая в...полностью>>

Программа строительства Программа строительства олимпийских объектов и развития города Сочи как горноклиматического курорта, утвержденная постановлением Правительства Российской Федерации от 29. 12. 2007 №991. Орган власти
Программа
8.1.1. Исполнитель направляет Заказчику материалы в виде Документации по планировке территории в 1 (Одном) экземпляре на бумажном носителе и 1 (Одном)...полностью>>

Программа строительства Программа строительства олимпийских объектов и развития города Сочи как горноклиматического курорта, утвержденная постановлением Правительства Российской Федерации от 29. 12. 2007 №991. Орган власти
Программа
15.2. Настоящий Договор может быть изменен по соглашению Сторон, совершенному в письменной форме и подписанному надлежащим образом уполномоченными на ...полностью>>



Учебное пособие. Пенза-2012 удк 514

BAD =CDA.

АВС =DCB по трем сторонам

(АВ = CD, ВС – общая сторона, АС = ВD).

Из равенства треугольников имеем: BAC = CDB.

А так как BAD =CDA, то CAD = BDA.

Но BDA = CBO, а BCA = CAD (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AD и ВС и секущей BD).

Следовательно, ВОС и АОD – равнобедренные, прямоугольные (O = 90).

ОК – высота ВОС  ОК – медиана, опущенная из вершины прямого угла  ; аналогично .

см.

Ответ: 15 см.

Задача 4. Через точку О пересечения диагоналей равнобедренной трапеции ABCD (AD || BC) со взаимно перпендикулярными диагоналями проведена прямая МК, перпендикулярная к стороне CD (точка М лежит на АВ, точка К – на CD). Найти МК, если AD = 40 см, ВС = 30 см.

Дано: ABCD – трапеция,

AC = BD,

АСBD, МКCD,

OMK, O = AC∩BD,

AD = 40 см, ВС = 30 см.

Найти: МК.

Решение.

По условию задачи AOD – прямоугольный, так как АСВD  .

Аналогично, ВОС – прямоугольный (ВООС) 

.

По условию задачи ОКСD, ОСОD  ОК – высота, опущенная из вершины прямого угла. Значит, .

Найдем отрезки СК и КD.

из прямоугольного треугольника СОD

.

.

.

По признаку равенства прямоугольных треугольников

АОВ = DОС, так как АВ = СD и BAO = CDO.

В АОВ из вершины О опустим перпендикуляр ОР на гипотенузу АВ. В треугольнике АОВ:

ВОР = ОАВ (как углы с взаимно перпендикулярными сторонами);

ВОР = СОК (как соответствующие углы в равных прямоугольных треугольниках);

СОК = МОА (как вертикальные).

Следовательно, ВАО = МОА.

Значит АМО – равнобедренный и АМ = МО,

.

(см).

Ответ: см.

Задачи для самостоятельного решения.

  1. В равнобедренной трапеции ABCD (AD || BC) расстояние от вершины А до прямой СD равно длине боковой стороны. Найдите величины углов трапеции, если АD:ВС = 5:1.

(Ответ: )

  1. В прямоугольной трапеции отношение длин оснований равно 4, а отношение длин диагоналей равно 2. Найдите величину острого угла трапеции.

(Ответ: arctg(2/3))

  1. Дана равнобедренная трапеция АВСD. Известно, что АD = 10 см, ВС = 2 см, АВ = СD = 5 см. Биссектриса угла ВАD пересекает луч ВС в точке К. Найдите длину биссектрисы угла АВК в треугольнике АВК.

(Ответ: см)

  1. Длина диагонали ВD трапеции АВСD равна m, а длина боковой стороны АD равна n. Найдите длину основания СD, если известно, что длины основания, диагонали и боковой стороны трапеции, выходящих из вершины С, равны между собой.

(Ответ: )

  1. В трапеции углы при одном из оснований имеют величины 20 и 70, а длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна 2. Найдите длины оснований трапеции, если длина средней линии этой трапеции равна 4.

(Ответ: 2 и 6)

  1. В равнобедренной трапеции основания равны a и b, а угол диагонали с основанием равен . Найти длину отрезка, соединяющего точку пересечения диагоналей с серединой боковой стороны трапеции.

(Ответ: )

  1. Сумма острых углов трапеции равна 90, высота равна 2 см, а основания – 12 и 16 см. Найти боковые стороны трапеции.

(Ответ: см)

  1. В трапеции АВСD (АD – большее основание) диагональ АС перпендикулярна к стороне СD и делит BAD пополам; CAD = 60; периметр трапеции – 2 м. Определить АD.

(Ответ: 0.8 м)

  1. В прямоугольной трапеции АВСD острый угол АDС = 45 и сторона АD = а. Из середины Е стороны СD проведен к ней перпендикуляр, который встречает продолжение стороны ВА в точке F. Найти длину BF.

(Указание: продолжить EF до пересечения с продолжением ВС)

  1. Прямые, которым принадлежат боковые стороны трапеции, перпендикулярны. Доказать, что длина отрезка, концами которого являются середины оснований трапеции, равна полуразности оснований.

  2. Один из углов трапеции равен 30, боковые стороны перпендикулярны. Найти меньшую боковую сторону трапеции, если ее средняя линия равна 10 см, а одно из оснований 8 см.

(Ответ: 2 см)

  1. Биссектрисы тупых углов при основании трапеции пересекаются на другом ее основании и равны 13 и 15. Найти стороны трапеции, если ее высота – 12.

(Ответ: 12.5; 19.4; 31.9; 14)

Глава III. Окружность.

Вписанные и описанные многоугольники.

§ 7. Окружность.

Окружностью называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром окружности (рис. 1).


Расстояние от окружности до ее центра называется радиусом окружности. Радиусом называется также любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром (рис. 1).

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.


Хорды обладают следующими свойствами:

  1. Диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен этой хорде;

  2. Равные хорды окружности равноудалены от ее центра; равноудаленные от центра окружности хорды равны.

Длина окружности радиуса R вычисляется по формуле:

.

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре (рис.2).

Дугой называется часть окружности (рис. 2). Градусная мера дуги окружности равна градусной мере соответствующего центрального угла АВ = АОВ. Длину дуги в п можно вычислить по формуле:

.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность (рис. 2).


Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла.

.

Свойства углов, вписанных в окружность:



  1. Вписанные углы, стороны которых проходят через точки А и В окружности, а вершины лежат по одну сторону от прямой АВ, равны (рис. 3).

C1 = C2 = C3 = C4.

  1. Углы, опирающиеся на диаметр, – прямые.


Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной (рис. 4). Данная точка окружности называется точкой касания.

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной (рис. 4).

Две окружности, имеющие общую точку, касаются в этой точке, если они имеют в этой точке общую касательную (рис. 5, 6).

Касание окружностей называется внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от их общей касательной (рис.5). Касание окружностей называется внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от их общей касательной (рис. 6).

Свойства линий в касающихся и пересекающихся окружностях:

  1. Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку касания (рис. 5, 6).

  2. Общая внутренняя касательная двух внешним образом касающихся окружностей перпендикулярна их линии центров (рис. 6).

  3. Общая внутренняя касательная двух внутренним образом касающихся окружностей перпендикулярна их линии центров (рис. 5).

  4. Общая хорда двух пересекающихся окружностей перпендикулярна их линии центров и делится точкой их пересечения пополам.

Рассмотрим свойства касательных, хорд, секущих окружности.

Свойство 1. (свойство касательных).


Если из точки к окружности проведены две касательные, то длины отрезков от этой точки до точек касания равны, и прямая, проходящая через центр окружности и эту точку, делит угол между касательными пополам (рис. 7).

АМ = AN, МАО = NАО.

Свойство 2. (угол между касательной и хордой).


Градусная мера угла, образованного хордой и касательной, имеющими общую точку на окружности, равна половине градусной мере дуги, заключенной между его сторонами (рис. 8).

; .


Из этого свойства следует важная теорема «о касательной и секущей», которая часто используется при решении задач.

Теорема.


Если из точки М к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от точки М до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от точки М до точек ее пересечения с окружностью (рис. 9).

МА2 = МВМС.


Свойство 3. (свойство пересекающихся хорд)

Если хорды АВ и СD пересекаются в точке М (рис. 10), то .

Свойство 4. (свойство секущих)

Если из точки М к окружности проведены две секущие МВ и МD (рис. 11), то .



Задача 1. Две окружности касаются внешним образом в точке А. Найти радиусы окружностей, если хорды, соединяющие точку А с точками касания одной из общих внешних касательных, равны 6 и 8 см.

Дано: окружности S(O1) и S(O2)

касаются внешним образом,

А – точка касания,

ВС – общая касательная,

В, С – точки касания,

АВ = 8 см, АС = 6 см.

Найти: АО1, АО2.

Решение.

Проведем касательную l к окружностям S(O1) и S(O2) в точке А,

l∩ВС = D.

Тогда DA = DB (как отрезки касательных, проведенных к окружности S(O1) из точки D), и DA = DC  ВАС = 90 (медиана, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы).

,

.

AO2C = 180 – ADC = BDA  ABDАСО2 – по двум углам, так как AO2C = BDA, BAD = CАО2.

Из подобия треугольников следует:

Аналогично .

Ответ: см, см.

Задача 2. Две окружности радиусов R и r касаются внешним образом. Определить радиус окружности, касающейся этих окружностей и их общей внешней касательной.

Дано: S1(O1, R), S2(O2, r),

S3(O3, O3K)

MN – общая касательная

окружностей S1, S2

Найти: O3K.

Решение.

К – точка касания S3(O3) и касательной MN. Через точку O3 проведем прямую LP || MN (L = LP∩O1M, P = LP∩NO2),

PKO1M, PKO2N, PKO3K.

Пусть радиус окружности S3 равен х. Рассмотрим прямоугольный треугольник O1LO3: O1O3 = R + х, O1L = Rх.

По теореме Пифагора

.

Аналогично, из прямоугольного треугольника O2РO3 находим

O3Р = 2.

Проведем прямую SO2 || MN и рассмотрим прямоугольный треугольник O1SO2: O1O2 = R + r, O1S = Rr.

По теореме Пифагора находим .

SO2 = LP, как отрезки параллельных прямых LP и SO2 заключенных между параллельными прямыми МО1 и NO2.

SO2 = LP = LO3 + O3P

.

Ответ: .

Задача 3. Из внешней точки к окружности проведены секущая длиной 48 см и касательная, длина которой составляет от внутреннего отрезка секущей. Найти радиус окружности, если известно, что секущая удалена от центра на расстояние 24 см.