Похожие публикации

Алексей Иванов стал жертвой собственной публики лишь за то, что решил немного измениться
Документ
Быть в одном месте одновременно большим писателем и большим культуртрегером очень трудно, даже невозможно. И тот, и другой образ требуют от публики сл...полностью>>

Решение по делу №1-00 1831
Решение
специалиста-эксперта отдела антимонопольного контроля торгов Арзумановой М.А., главного специалиста — эксперта отдела антимонопольного контроля торгов...полностью>>

Программа тура День 1, четверг, Вильнюс-Тракай Прибытие. Встреча на жд вокзале. Утренний завтрак в ресторане на воде, единственный в своем роде в городе Вильнюсе (в летнее время) или в уютной кафешке «Цукаты» старого города.
Программа
Прибытие. Встреча на ЖД вокзале. Утренний завтрак в ресторане на воде, единственный в своем роде в городе Вильнюсе (в летнее время) или в уютной кафеш...полностью>>

Рабочая программа по английскому языку на 2013-2014 учебный год (2)
Рабочая программа
Рабочая программа по английскому языку для 5 класса составлена в соответствии с федеральным базисным учебным планом для образовательных учреждений РФ ...полностью>>



Учебное пособие. Пенза-2012 удк 514

Дано: окружность S(О),

AD – секущая, AD = 48 см,

АВ – касательная,

В – точка касания,

АВ = СD,

ОК AD, ОК = 24 см.

Найти: R.

Решение.

По теореме о секущей и касательной

, .

Имеем . Обозначим

; .

Решая квадратное уравнение, получим х = 36, DC = 36,

АС = 48 – 36 = 12, АВ = 36 = 24.

Из прямоугольного треугольника ODK:

.

Ответ: 30 см.

Задача 4. В окружности проведены 3 хорды: МА = 6 см, МВ = 4 см, МС = 1 см. Хорда МВ делит АМС пополам. Найти радиус окружности.

Дано: окружность,

МА, МВ, МС – хорды,

МА = 6 см, МВ = 4 см,

МС = 1 см,

АМВ = ВМС.

Найти: R.

Решение.

По условию АМВ = ВМС  АВ = ВС  центральные углы, опирающиеся на эти дуги, равны, то есть АОВ = ВОС.

ОА = ОВ = ОС – как радиусы окружности  АОВ = ВОС (по двум сторонам и углу между ними)  АВ = ВС.

Обозначим АМВ = , тогда АОВ = 2.

Из АМС и ВМС по теореме косинусов имеем:

.

Вычитая из первого равенства второе, получим:

.

Тогда .

Из АОВ по теореме косинусов

Ответ: см.

Задача 5. Н а окружности взяты четыре точки. Доказать, что прямые, соединяющие середины противолежащих дуг, взаимно перпендикулярны.

Дано: окружность S(О),

А, В, С, D  S(О),

AK = KB, BL = LC,

CM = MD, DN = NA.

Доказать: KM  LN.

Доказательство.

Пусть точки K, L, M, N – середины дуг АВ, ВС, СD, DА.

,

.

Задачи для самостоятельного решения.

  1. В круге радиуса 12 см длина хорды АВ равна 6 см, а хорды ВС – 4 см. Найдите длину хорды, соединяющей концы дуги АС.

(Ответ: см)

  1. На сторонах АВ и АС угла ВАС равного 2/3, как на диаметрах построены полуокружности. В общую часть двух образованных полукругов вписана окружность максимального радиуса. Найдите радиус этой окружности, если АВ = 4, АС = 2.

(Ответ: )

  1. В окружности радиуса r проведена хорда длины r/2. Через один конец хорды проведена касательная к этой окружности, а через другой – секущая, параллельная касательной. Найдите расстояние между касательной и секущей.

(Ответ: r/8)

  1. Через концы дуги окружности, содержащей 120, проведены касательные и в фигуру, ограниченную этими касательными и данной дугой, вписана окружность. Вычислите длину этой окружности, если радиус исходной окружности равен R.

(Ответ: 2R/3)

  1. Две окружности радиусов R и r касаются внешне в точке С. К ним проведена общая внешняя касательная АВ, где А и В – точки касания. Вычислите длины сторон треугольника АВС.

(Ответ: , , ).

  1. Даны две внешним образом касающихся окружности радиусов R и r. Найти длину отрезка внешней касательной, заключенной между точками касания.

(Ответ: )

  1. Две окружности, радиусы которых равны 4 и 8, пересекаются под прямым углом. Определить длину их общей касательной.

(Ответ: 8)

  1. Две окружности радиусов 5 и 3 см касаются внутренним образом. Хорда большей окружности касается меньшей окружности и делится точкой касания в отношении 3:1. Найти длину этой хорды.

(Ответ: 8)

  1. Две окружности радиусов R и r касаются внешне в точке А. На окружности радиуса r взята точка В, диаметрально противоположная точке А, и в этой точке построена касательная l. Найдите радиус окружности, касающейся двух данных окружностей и прямой l.

(Ответ: , R + r)

  1. Две окружности пересекаются в точках А и В. Точки А и В лежат по разные стороны от прямой l, которая пересекает окружности соответственно в точках С, D, Е и М. Доказать, что сумма углов DВЕ и САМ равна 180.

  2. Две равные окружности внешне касаются друг друга и третьей окружности, радиус которой равен 8 см. Отрезок, соединяющий точки касания двух равных окружностей с третьей, равен 12 см. Найти радиусы равных окружностей.

(Ответ: 24 см)

  1. В окружности с центром О проведены две перпендикулярные хорды АВ и СD, пересекающиеся в точке М. Доказать, что середины хорд АС и ВD, точка М и центр данной окружности являются вершинами параллелограмма.

  2. Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке А. Их общая касательная касается первой окружности в точке В, а второй в точке С. Прямая, проходящая через точки А и В пересекает вторую окружность в точке С. Прямая, проходящая через точки А и В пересекает вторую окружность в точке D. Известно, что АВ = 5, АD = 4. Найдите СD.

  3. Две окружности радиусов R и r касаются внешним образом. Прямая l пересекает окружности в точках А, В, С и D так, что АВ = ВС = СD. Найти АD.

  4. В окружности даны две хорды: АВ = а, АС = b. Длина дуги АС вдвое больше длины дуги АВ. Найти радиус окружности.

  5. АВ и СD – взаимно перпендикулярные пересекающиеся хорды полуокружности радиуса R. Доказать, что .

  6. В окружности пересекающиеся хорды АВ и СD перпендикулярны, АD =5, ВС = 11. Найдите радиус окружности.

§ 8. Вписанные и описанные треугольники.

Треугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным в окружность, а окружность, называется описанной около треугольника (рис. 1).

Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (рис. 1).

Радиус R описанной около треугольника окружности, вычисляется по формуле

или по формуле

,

где a, b, c – стороны треугольника; , , – углы треугольника, лежащие против этих сторон соответственно; S – площадь треугольника.

Окружность, касающаяся всех сторон треугольника, называется вписанной в треугольник (рис. 2).

Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника (рис. 2).

Радиус вписанной в треугольник окружности вычисляется по формуле , где – полупериметр треугольника.

Задача 1. Высота и медиана треугольника, проведенные внутри него из одной его вершины, различны и образуют равные углы со сторонами, выходящими из той же вершины. Определить радиус описанной окружности, если медиана равна т.

Дано: АВС,

ВМ – медиана, ВК – высота,

ВМ = т, ABK = CBM.

Найти: R.

Решение.

Продолжим медиану ВМ до пересечения с окружностью, описанной около АВС, в точке D.

Тогда, CAD = CBD (как вписанные в окружность углы, опирающиеся на одну дугу DС) 

BAD = CAD + BAC = ABK + BAC = 90  ВСD = 180  BD – диаметр.

А так как центр, описанной около треугольника окружности, является точкой пересечения серединных перпендикуляров, серединный перпендикуляр к стороне АС АВС пересекает диаметр BD в точке М, то М – центр окружности. ВМ = т = R.

Ответ: т.

Задача 2. Доказать, что во всяком треугольнике точки, симметричные с точкой пересечения высот относительно трех сторон треугольника, лежат на описанной окружности.

Дано: АВС,

ADВС, NСАВ,

AD∩СN = О,

L – симметрична О

относительно АС.

Доказать: L лежит на описанной

около АВС окружности.

Доказательство.

СОМ = СLМ, так как СОМ = СLМ = 90, ОМ = МL, МС – общая сторона. Поэтому СОМ = СLМ.

Кроме того, СОМ = САВ (углы с соответственно перпендикулярными сторонами)  СОМ = САВ  точки А, В, С и L лежат на описанной окружности.

Аналогично можно доказать, что точки симметричные с О относительно остальных двух сторон треугольника, лежат на этой же описанной окружности.

Для тупоугольного треугольника доказать самостоятельно.

Задача 3. Вычислить стороны равнобедренного треугольника по высоте h и радиусу вписанной круга r.

Дано: АВС,

АВ = ВС, ВDАС,

ВD = h, OL = r.

Найти: АВ, АС.

Решение.

Обозначим DС = х.

 ОDС = OLC (по гипотенузе и катету)  DС = LC = х.

Из прямоугольного треугольника ВOL:

Из прямоугольного треугольника ВDС:

;

, .

.

Ответ: , .

Задача 4. Найти угол при основании равнобедренного остроугольного треугольника, для которого отношение радиуса вписанной окружности к радиусу описанной равно 3/8.

Дано: АВС, АВ = ВС,

r – радиус вписанной окружности,

R – радиус описанной окружности,

.

Найти: ВАС.

Решение.

Угол при основании АС обозначим , АВ = ВС = х.

Из теоремы синусов следует .

Пусть О – центр вписанной окружности, тогда СО – биссектриса С, OD = r. Из прямоугольного треугольника АВD: ; а из прямоугольного треугольника СOD выражаем r:

.

Имеем: .

Преобразуем тригонометрическое выражение:

Получаем уравнение , приводим его к виду

.

Корни этого уравнения и . По условию треугольник остроугольный, значит и и .

Ответ: .

Задача 5. Доказать, что в прямоугольном треугольнике диаметр вписанного круга равен разности между суммой катетов и гипотенузой.

Дано: АВС, ,