Похожие публикации

Приказ № От 2013г. Согласовано: Председатель пк маоудод «цдт» Дмитриева Л. М (3)
Расписание
00 13.10-13.55 МБОУ «СОШ» №1 11.40 – 1 . 5 1 .35 – 13. 0 МБОУ «СОШ» №1 № (1г.об.) 14.55 – 15.40 15.45 – 1 .30 МБОУ «СОШ» №1 14.55 – 15.40 15.45 – 1 ....полностью>>

Промо-распространение на выставках, семейных праздниках и мероприятиях
Документ
Космонавтов /13 ДЦ Большая перемена пр. Космонавтов 17/3 Перинатариальный центр ул. Бодрая 9 Центр «Трогательный зоопарк» ул....полностью>>

Домашний доктор
Документ
Задача предлагаемой вам книги "Домашний доктор" - сделать современную медицину доступной для массового читателя, для каждого, кого интересует древняя ...полностью>>

Домашний доктор
Документ
Задача предлагаемой вам книги "Домашний доктор" - сделать современную медицину доступной для массового читателя, для каждого, кого интересует древняя ...полностью>>



Учебное пособие. Пенза-2012 удк 514

§10. Окружность и четырехугольник.

Четырехугольник называется описанным около окружности, если окружность касается всех его сторон.

Теорема. В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противолежащих сторон равны.

Задача 1. Равнобокая трапеция описана около окружности. Найти радиус окружности, если длины оснований равны а и b.

Дано: АВСD – трапеция,

АВ = СD,

АD = а, ВС = b,

(О, R) – окружность,

вписанная в АВСD.

Найти: R.

Решение.

АВСD – равнобокая трапеция, она описана около окружности, следовательно, АВ + СD = АD + ВС.

Отсюда получаем: .

Проведем ВМ  АD, СN  АD.

ВАD = САD, так как трапеция равнобокая  АМВ = DNС  АМ = ND.

МВСN – прямоугольник, МN = ВС = b, поэтому АМ = ND = .

Из прямоугольного треугольника АВМ находим высоту трапеции АВСD:

.

, так как высота трапеции равна диаметру окружности.

Ответ: .

Четырехугольник называется вписанным в окружность, если окружность проходит через все его вершины.

Теорема. Около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противолежащих углов равна 180.

Из этой теоремы следует:

  1. Из всех параллелограммов только около прямоугольника можно описать окружность;

  2. Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда она равнобокая.

Задача 2. Найти радиус окружности, описанной около четырехугольника АВСD, в котором АВ = 3, АD = 5, ВС = СD и АС = 4.

Дано: (О, R),

АВСD – четырехугольник,

вписанный в окружность ;

АВ = 3, АD = 5,

ВС = СD, АС = 4.

Найти: R.

Решение.

ВОС = СОD, так как ОВ = ОС = ОD, ВС = СD.

Следовательно, ВОС = СОD, и поэтому равны вписанные углы ВАС и САD.

Обозначим ВАС = .

Из треугольников ВАС и САD по теореме косинусов получим:

,

.

Приравнивая правые части и преобразовывая, найдем

.

Найдем ВС: .

По теореме синусов из АВС имеем:

.

Ответ: .

Задача 3. Доказать, что в четырехугольнике, вписанном в окружность, сумма произведений противоположных сторон равна произведению диагоналей (теорема Птолемея).

Дано: АВСD – четырехугольник,

вписанный в окружность.

Доказать: .

Доказательство.

Построим угол DАF = ВАС.


ВСА = ВDА, как углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.


Поэтому АВС  АFD, откуда

, (1)

ВАF  СDА, так как ВАF = САD и АВD = АСD, как углы опирающиеся на одну дугу.

Следовательно, , или (2)

Складывая почленно соотношения (1) и (2), имеем:

.

Задача 4. В окружность вписан четырехугольник АВСD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке Е. Прямая, проходящая через точку Е и перпендикулярная к АВ, пересекает СD в точке М. Найти ЕМ, если АD = 8 см, АВ = 4 см и СDВ = .

Дано: АВСD – четырехугольник,

вписанный в окружность,

АС  ВD, АС ∩ ВD = Е,

МЕ  (АВ), МСD,

АВ = 4 см, АD = 8 см,

СDВ = .

Найти: ЕМ.

Решение.

В СЕD: ЕСD = 90 – , так как СЕD = 90, а СDВ = .

АВD = АСD, как углы, опирающиеся на одну дугу 

АВD = 90 – .

Рассмотрим прямоугольный треугольник ВЕК:

ВЕК = 90 – КВЕ = ,

ВЕК = МЕD как вертикальные  МЕD = .

Из равнобедренного треугольника МЕD имеем ЕМ = МD

СЕМ = 90 – МЕD = 90 – .

Таким образом, в треугольнике СМЕ: МСЕ = МЕС = 90 – СМЕ – равнобедренный  СМ = МЕ.

Итак, МЕ=СМ и МЕ=МD  МЕ – медиана прямоугольного СЕD, проведенная из вершины прямого угла  ЕМ = СD.

В прямоугольном треугольнике АЕВ: .

Из прямоугольного треугольника АЕD:

.

Из треугольника СЕD:

, .

Ответ: .

Задача 5. Дана трапеция АВСD, боковая сторона АВ которой перпендикулярна основаниям. В трапецию вписана окружность с центром в точке О. Через точки А, В, С проведена окружность с центром в точке О1. Найти диагональ АС, если ОО1 = 1 см, а меньшее основание трапеции ВС равно 10 см.

Дано: АВСD – прямоугольная трапеция,

АВ  АD,

(О, r) – вписана в трапецию,

А, В, С  11, r1),

ОО1 = 1 см, ВС = 10 см.

Найти: АС.

Решение.

Пусть MN – средняя линия трапеции.

Окружность 1, проходящая через точки А, В, С – это окружность, описанная около прямоугольного треугольника АВС  ее центр О1 – середина гипотенузы АС.

Средняя линия трапеции MN пересекает диагональ трапеции АС в ее середине. Следовательно, О1 = MN∩АС.

Окружность касается двух параллельных сторон трапеции ВС и АD  ее центр лежит на средней линии трапеции.

В АВС сторона АВ > ВС, так как АВ равна диаметру вписанной окружности, а ВС – меньше диаметра.

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол  ВСА > ВАС, а ВСА + ВАС = 90  САВ < 45.

Окружность с центром в точке О касается сторон прямого угла ВАD, точка О лежит на биссектрисе этого угла, следовательно, ВАО = 45.

Таким образом, два угла ВАС и ВАО  луч АО1 лежит между сторонами ВАО, то есть точка О1 лежит между точками М и О.

см, см.

В АВС: см,

см.

Ответ: см.

Задача 6. Прямоугольник со сторонами 36 и 48 см разделен диагональю на два треугольника. В каждый из этих треугольников вписана окружность. Найти расстояние между их центрами.

Дано: АВСD – прямоугольник,

АВ = 36 см, АD = 48 см,

О – центр окружности,

вписанной в АВС,

О1 – центр окружности,

вписанной около АDС.

Найти: ОО1.

Решение.

Диагональ прямоугольника см.

Пусть радиус окружностей равен х.

Рассмотрим  ОО1К – прямоугольный,

,

, , как отрезки касательных к окружности, проведенные из точек А и С соответственно.

.

Тогда ОК = 12, КО1 = 24. Из прямоугольного треугольника ОКО1:

см.

Ответ: см.

Задачи для самостоятельного решения.

  1. Около окружности описана равнобокая трапеция с острым углом 60. Найти отношение длин оснований.

(Ответ: 1:3)

  1. В окружность вписана трапеция, средняя линия которой равна 16, боковая сторона больше меньшего основания на 8 и большее основание является диаметром окружности. Определить основания и высоту трапеции.

  2. В ромбе АВСD угол ВАD острый. Окружность, вписанная в ромб, касающаяся сторон АВ и СD соответственно в точках М и N, пересекает отрезок СМ в точке Р, а отрезок ВN в точке Q. Найти отношение ВQ:QN, если СР:РМ = 9:16.

  3. В полуокружность радиуса R вписан квадрат так, что одна сторона его лежит на диаметре и две вершины – на окружности. Найти длину стороны квадрата.

  4. Окружность касается двух смежных сторон квадрата и делит каждую из двух других сторон на отрезки 2 и 23 см. Найти радиус окружности.

  5. В ромб со стороной 4 см и углом ВАD, равным 60, вписана окружность. К ней проведена касательная, пересекающая АВ в точке М и АD в точке Р. Найти МВ и РD, если МР = 2см.

  6. В равнобедренную трапецию, длины оснований которой равны а и b, вписана окружность. Определить длину диагонали трапеции.

  7. Трапеция описана около окружности. Найти отношение длины средней линии трапеции к ее периметру.

  8. В квадрат АВСD со стороной длины а вписана окружность, которая касается стороны СD в точке Е. Найти длину хорды, соединяющей точки, в которых окружность пересекается с прямой АЕ.

  9. Доказать, что если для трапеции существуют вписанная и описанная окружности, то высота трапеции есть среднее геометрическое между ее основаниями.

  10. Доказать, что диагонали вписанного в круг четырехугольника относятся между собой как суммы произведений сторон, сходящихся в концах диагоналей.

  11. На основании ВС трапеции АВСD как на диаметре, построена окружность, которая проходит через середины диагоналей трапеции и касается основания АD. Найти углы трапеции.

  12. Окружность, построенная на стороне АD параллелограмма АВСD как на диаметре, проходит через середину диагонали АС и пересекает сторону АВ в точке Н. Найти отношение АМ:АВ, если АС = 3ВD.

  13. В ромбе АВСD угол АВС равен 60. Окружность касается прямой АD в точке А, центр окружности лежит внутри ромба. Касательные к окружности, проведенные из точки С, перпендикулярны. Найти отношение периметра ромба к длине окружности.

  14. В трапеции АВСD сторона АВ перпендикулярна основаниям АD и АС. Окружность касается стороны АВ в точке К, лежащей между точками А и В, имеет с отрезком ВС единственную точку С, проходит через точку D и пересекает отрезок АD в точке Е (Е ≠ D). Найти расстояние от точки К до прямой СD, если АD = 48 и ВС = 12.

  15. В ромб АВСD, у которого АВ = l и ВАD = , вписана окружность. Касательная к этой окружности пересекает сторону АВ в точке М, а сторону АD – в точке N. Известно, что MN = 2а. Найти длины отрезков МВ и ND.

  16. В равнобочную трапецию вписана окружность. Расстояние от центра окружности до точки пересечения диагоналей трапеции относится к радиусу как 3:5. Найти отношение периметра трапеции к длине описанной окружности.

  17. Около круга описана равнобедренная трапеция, у которой средняя линия имеет длину 5 см. Определите периметр и длину боковой стороны трапеции.

  18. В ромб, который своей диагональю делится на два равносторонних треугольника, вписана окружность с радиусом длины 2 см. Найдите длину стороны ромба.

  19. Хорда окружности длиной 6 см разбивает окружность на два сегмента. В меньший из них вписан квадрат со стороной 2 см. найти радиус окружности.

  20. Около окружности описана трапеция с острыми углами и . Найти отношение периметра трапеции к длине окружности.

Глава IV. Площади плоских фигур.

Геометрическая фигура называется простой, если ее можно разбить на конечное число треугольников.

Площадь – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

  1. Равные фигуры имеют равные площади.

  2. Площадь фигуры равна сумме площадей ее частей, являющихся простыми фигурами, на которые она разбивается.

  3. Площадь квадрата со стороной равной единице измерения равна единице.