Похожие публикации

Положение о ведении школьной документации педагогическими работниками оу
Документ
1. Классный журнал является государственным документом, и ведение его обязательно для каждого учителя. 2. Директор общеобразовательного учреждения и е...полностью>>

Разряды, но практического значения они не имели
Документ
До 1800 г. были построены машины, позволяющие достигать статического электричества довольно высоких потенциалов. С помощью этих машин удавалось получа...полностью>>

Рампа, Лобсанг. Мудрость древних
Документ
Здесь: • дыхательные упражнения, которые сделают нас здоровее, улучшат зрение, научат согреваться при любом холоде по методу тибетских лам, • раздел, ...полностью>>

Рампа, Лобсанг. Мудрость древних
Документ
Здесь: • дыхательные упражнения, которые сделают нас здоровее, улучшат зрение, научат согреваться при любом холоде по методу тибетских лам, • раздел, ...полностью>>



Учебное пособие. Пенза-2012 удк 514

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

УДК 514

О.П. Сурина, О.В. Якунина

Элементарная геометрия.

Планиметрия.

Учебное пособие.

ПЕНЗА-2012

УДК 514

Сурина О.П., Якунина О.В. Элементарная геометрия. Планиметрия: Учебное пособие для студентов направления подготовки Педагогическое образование профилей «Математика», «Физика», «Информатика». – Пенза: издательство ПГУ. – С.107

В учебном пособии представлен теоретический материал по элементарной геометрии на плоскости, рассмотрены примеры решения задач по различным разделам элементарной геометрии на плоскости. Предлагаются задачи для самостоятельного решения, в том числе, встречающиеся в ЕГЭ по математике, а также варианты контрольных работ.

Учебное пособие предназначено для студентов направления подготовки Педагогическое образование профилей «Математика», «Физика», «Информатика».

Содержание.

Глава I. Треугольники.

§1. Треугольник ………………………………………………….. 4

§2. Прямоугольный треугольник ……………………………….. 9

§3. Равнобедренный треугольник …………………………….. 17

§4. Произвольный треугольник ………………………………. 23

Глава II. Четырехугольники.

§5. Параллелограмм …………………………………………… 32

§6. Трапеция ……………………………………………………. 40

Глава III. Окружность. Вписанные и описанные многоугольники.

§7. Окружность …………………………………………………. 49

§8. Вписанные и описанные треугольники …………………... 59

§9. Произвольное расположение окружности и

треугольника ……………………………………………….. 67

§10. Окружность и четырехугольник ………………..………. 71

Глава IV. Площади плоских фигур.

§11. Площадь треугольника ………………………………….. 80

§12. Площадь четырехугольника ……………………………. 88

§13. Площадь круга и его частей ……………………………. 97

Контрольная работа №1 …………………………..……………… 100

Контрольная работа №2 ………………………..………………… 101

Задачи из ЕГЭ ……………………………………...……………….. 103

Глава I. Треугольники.

§1. Треугольник.

Треугольником называется фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно их соединяющих.

Точки называются вершинами треугольника, а отрезки – сторонами.

Треугольник с вершинами А, В и С будем обозначать: АВС. Для элементов АВС введем следующие обозначения:

a, b и c – длины сторон ВС, СА и АВ;

, и – величины углов при вершинаx А, В, С.

По сравнительной длине сторон различают следующие виды треугольников:

- разносторонние, когда все стороны имеют разную длину (рис. 2);

- равнобедренные, когда две стороны имеют одинаковую длину

(рис.3);

- равносторонние, когда все стороны равны (рис. 4).

По величине углов различают следующие виды треугольников:

  • остроугольные (рис. 5), когда все углы острые;

  • прямоугольные (рис. 6), когда один из углов прямой;

  • тупоугольные (рис. 7), когда один из углов тупой.

Главнейшие линии в треугольнике.

Одну из сторон треугольника иногда называют основанием, тогда вершину противоположного угла – вершиной треугольника.

Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на основание или его продолжение, называется высотой треугольника (рис.8).

h – высота треугольника АВС, h – высота треугольника А1В1С1

Рис.8.

Из вершины каждого угла треугольника можно опустить перпендикуляр на противоположную сторону или ее продолжение; следовательно, каждый треугольник имеет три высоты.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке (ее называют ортоцентром треугольника).

Отрезок, соединяющий вершину какого-нибудь угла треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой (рис.9).

Рис.9

Каждую вершину треугольника можно соединить прямой с серединой противоположной стороны, следовательно, каждый треугольник имеет три медианы.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке (ее называют центром тяжести или центроидом треугольника), и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины угла.

О

А

В

С

О

трезок прямой, делящей какой-нибудь угол треугольника пополам, называется
биссектрисой (рис.10).

Рис.10

Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке.

Биссектриса любого угла треугольника делит противолежащую ему сторону на отрезки, пропорциональные сторонам угла треугольника.

ВК : КС = АВ : АС

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Сумма углов треугольника равна 180. Следовательно, в любом треугольнике хотя бы два угла острые.

Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине.

При каждом угле треугольника можно построить по два внешних угла (продолжив одну или другую сторону). Эти два угла равны, как вертикальные (рис. 11).

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

По сторонам треугольника можно определить вид треугольника. Пусть a, b и c – стороны треугольника, причем с – наибольшая сторона. Тогда:

  1. если c2 < a2 + b2, то треугольник остроугольный;

  2. если c2 = a2 + b2, то треугольник прямоугольный;

  3. если c2 > a2 + b2, то треугольник тупоугольный.

Равенство треугольников.

Два треугольника называются равными, если у них соответствующие стороны и соответствующие углы равны.

Однако для того чтобы утверждать, что два треугольника равны, нет необходимости устанавливать равенства их элементов, достаточно убедиться в равенстве только некоторых из них.

Три признака равенства треугольников:

  1. Если две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, заключенному между ними, другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть АВС и А1В1С1 – треугольники, у которых А = А1, АВ = А1В1, АС = А1С1, тогда АВС = А1В1С1.

  1. Если два угла и прилежащая к ним сторона одного треугольника, соответственно равны двум углам и прилежащей к ним стороне другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если в треугольниках АВС и А1В1С1 СВ = С1В1, В = В1, С = С1, тоАВС = А1В1С1.

  1. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

В треугольниках АВС и А1В1С1 АВ = А1В1, ВС = В1С1, АС = А1С1, следовательно АВС = А1В1С1.

§2. Прямоугольный треугольник.

Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой.

Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, а две другие – катетами.

Рис.1.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:

.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:

.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему:

.

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему:

.

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Существует и другая формулировка теоремы Пифагора: сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе этого треугольника.

Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике (рис. 1):

- катет, противолежащий углу , равен произведению гипотенузы на синус данного угла:

;

- катет, прилежащий к углу , равен произведению гипотенузы на косинус этого угла:

;

- катет, противолежащий углу , равен произведению второго катета на тангенс данного угла:

;

- катет, прилежащий углу , равен произведению второго катета на котангенс этого угла:

.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30, равен половине гипотенузы.

Решить прямоугольный треугольникзначит, найти все его элементы, то есть длины сторон и величины острых углов.

Рис.2.

Таблица решений прямоугольного треугольника.

Дано

Формулы решений

a, b

a, c

b, c

a,

b,

a,

b,

c,

c,

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. Верна и обратная теорема: если в треугольнике одна из медиан равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник прямоугольный.

Рассмотрим свойства высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла (рис.3).

  1. ;

  2. ,

где , – проекции катетов a и b на гипотенузу c; – высота, опущенная на гипотенузу.


Сформулируем признаки равенства прямоугольных треугольников:

  1.